Yerel sınır sartlı yerel olmayan problemlerin 1 boyuttan 2 ve 3 boyuta genişletilmesi

Abstract

Peridinamik (PD), sürekli ortamlar mekaniğinin yerel olmayan bir genişlemesi olmakla birlikte, yönetici operatörü olarak integral temelli konvolüsyonu ihtiva eder. R^n'de, perdinamik teorinin yönetici operatörü, klasik (yerel) operatörün sınırlı bir fonksiyonudur [2]. 1D'de, Aksoylu ve diğerleri [1] peridinamik formulasyonunu, Hilbert bazlarını temel alan bir konvolüsyon operatörünü kullanarak sınırlı bir bölge için genelleştirdiler. Burada Hilbert bazları sonsuz bir toplam vermektedir. Böylelikle, yerel sınır koşulları, klasik operatörün sınır şartlarına uygun olarak bulunan Hilbert bazları yardımıyla, yerel olmayan teorilere uygulanabilmiş oldu. Sonsuz toplamın integral gösterimi, uygun bir nümerik hesaplamaya izin verdiği için oldukça kullanışlıdır. Bu tezde, [1]'nin sonuçları 2D ve 3D'ye genişletilmiş ve anti-periyodik ve periyodik sınır koşullarını sağlayan yönetici operatörlerin integral gösterimleri bulunmuştur. Neumann ve Dirichlet sınır koşullarının integral gösterimi karmaşıktır. Bunun yerine, 1D'de, anti-periyodik ve periyodik sınır koşulları ve fonksiyonun çift ve tek parçaları kullanılarak Neumann ve Dirichlet sınır koşulları bulundu [1]. Burada, 'basit' (simple) denilen konvolüsyonlar kullanıldı. Bu tezde, bu yapılar 2D ve 3D'ye genişletildi. Ek olarak, yönetici fonksiyonların açık formları verildi.

Peridynamics (PD), a nonlocal extension of continuum mechanics, employs an integral based convolution as the governing operator. In Rn, Beyer et al. [2] showed that the PD governing operator is a bounded function of the classical (local) operator. In 1D, Aksoylu et al. [1] generalized the PD formulation to a bounded domain using a convolution operator based on Hilbert bases, which gives rise to a infinite sum. This way, local Boundary Conditions (BC) are incorporated to nonlocal theories through Hilbert bases of the classical operator with the chosen BC. An integral representation of the infinite sum is very useful, as it allows for a convenient numerical implementation. We extend the results in [1] to 2D and 3D and provide integral representations of the governing operators employing antiperiodic and periodic BC. A direct integral representation of the Neumann BC and Dirichlet BC are involved. Instead, in 1D, a construction, called as simple convolutions, was given [1] to obtain Neumann BC and Dirichlet BC, using antiperiodic and periodic BC. We also extend this construction to 2D and 3D. In addition, we provide explicit expressions of the corresponding regulating functions.