Genel Müdahaleli Ödüllü Yenileme Süreci için Asimtotik Yaklaşım

Abstract

In this study, a renewal-reward process with a general interference of chance is considered. Exact expressions and asymptotic expansions for some of the probability characteristic are obtained. Stochastic process X(t) is constructed and one dimensional distribution function is gotten. Then, under weak conditions, the ergodicity of the process X(t) is proved and exact expression for the ergodic distribution is obtained. Examples for the found exact expressions under different distributions (exponential distribution, Erlang distribution) are presented. Moreover, weak convergence theorem is proved for the ergodic distribution and two term asymptotic expansion is obtained for the limiting distribution. Besides, exact expressions for the moments of the ergodic distribution are found. Within some assumptions for the discrete interference of chance in general form, two term asymptotic expansions for the moments of the ergodic distribution are obtained. Additionally, kurtosis, skewness coefficient and coefficient of variation of the ergodic distribution are computed. Examples are given when the random variable expresses the discrete interference of chance has several distributions (Uniform distribution, symmetric triangular distribution, nonsymmetric triangular distribution, generalized Beta distribution). Finally, exact expressions and asymptotic expansions for the moments of the three important boundary functionals are obtained.

Bu çalışmada, genel müdahaleli ödüllü yenileme süreci ele alınmıştır. Sürecin bazı olasılık karakteristikleri için kesin ifadeler ve asimtotik açılımlar elde edilmiştir. Modeli ifade eden X(t) stokastik süreci matematiksel olarak inşa edilmiş ve bir boyutlu dağılım fonksiyonu bulunmuştur. Ardından sürecin ergodikliği ispatlanmış ve ergodik dağılımın aşikar şekli elde edilmiştir. Bulunan aşikar ifadeler için bazı dağılımlarla (üstel dağılım, Erlang dağılımı) örnekler verilmiştir. Ayrıca, ergodik dağılım için zayıf yakınsama teoremi ispatlanmış ve limit dağılımı için iki terimli asimtotik açılım elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, ergodik dağılımın momentleri için kesin formüller bulunmuştur. Genel müdahale koşulu altında ergodik momentler için iki terimli asimtotik açılımlar elde edilmiştir. Ergodik momentler için bulunan asimtotik açılımlar yardımıyla merkezi momentler, basıklık, çarpıklık ve değişim katsayıları için asimtotik açılımlar bulunmuştur. Elde edilen bu asimtotik açılımlarla farklı dağılımlara sahip müdahaleler (düzgün dağılım, simetrik üçgensel dağılım, simetrik olmayan üçgensel dağılım, genelleştirilmiş Beta dağılımı) söz konusu olduğu durumlar için örnekler verilmiştir. Son olarak sürecin üç önemli sınır fonksiyonelinin momentleri için kesin ifadeler ve asimtotik açılımlar elde edilmiştir.