Doğrusal eskiyen sistemlerin yenileme politikasının stokastik süreçler yöntemi ile incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada doğrusal eskiyen ve mükemmel olmayan bakım politikası uygulanan bir sistem incelenmiştir. Başlangıç anında sistemin ?? > 0 kaynağa sahip olduğu, çalışır durumdayken bu kaynağın sürekli ve doğrusal biçimde rasgele miktarda (??????) azaldığı ve ilk çevrimin sonunda sistemin kullanılabilir kaynağının ?? ? ????0 seviyesine ulaştığı varsayılmaktadır. Birinci çevrimin sonunda sisteme belli bir bakım politikası uygulanarak sistemin genel kaynağının rasgele bir miktar (??1) arttığı varsayılmaktadır. Sistemin daha sonraki çevrimleri benzer şekilde devam edecek ve nihayetinde sistemin toplam kullanılabilir kaynağı sıfırın altına indiğinde veya bir önceki çevrimde sistem, kendine benzer yeni bir sistemle değiştirilecek ve sürecin işleyiş prensibi benzer şekilde devam edecektir. Çalışmada, kullanılabilir kaynağı yukarıdaki şekilde değişen bir sistemin herhangi bir t anındaki kaynak miktarı ??(??) stokastik süreci ile ifade edilmiştir. Ele alınan ??(??) süreci bağımlı bileşenli bir stokastik süreçtir. Çalışmanın amacı, ??(??) süreci ile ifade edilebilen bir sistemin ilk defa ne zaman kendine benzer yeni bir sistemle değiştirileceğini stokastik süreçler yöntemi ile belirlemektir. Bu amaçla, ilk olarak ??(??) süreci ve bu sürecin önemli sınır fonksiyonelleri olan ??0(??), ??0(??), ??(??), ????0(??)+1, ????(??)+1, ????0(??)+1, ????(??)+1, ????0(??) sınır fonksiyonelleri matematiksel olarak inşa edilmiştir. Sürecin önemli sınır fonksiyoneli olan ??0(??) sınır fonksiyonelini inceleyebilmek için ??0(??) yardımcı sınır fonksiyoneli matematiksel olarak tanımlanmıştır. Yenileme kuramının yöntemleri kullanılarak ??0(??)'in beklenen değer ve varyansı için hem kesin, hem de asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra sürecin ??0(??) ve ??(??) sınır fonksiyonellerinin beklenen değer ve varyansı için asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca sistemin kullanılabilir kaynağının sıfırın altına inmeden bir önceki çevrimde sisteme yapılacak bakım politikasını belirlemek için önem arz eden ????0(??)+1 ve ????(??)+1 sınır fonksiyonellerini incelemek amacıyla sürecin ????0(??)+1 ve ????(??)+1 sınır fonksiyonelleri de matematiksel olarak tanımlanmış ve bu sınır fonksiyonellerin beklenen değeri, varyansı için iki terimli asimptotik açılımlar elde edilmiştir. Bu sonuçlardan yararlanarak, ????0(??)+1 ve ????(??)+1 sınır fonksiyonellerinin beklenen değer ve varyansı için de asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Bunlara ilaveten, ??(??) sürecinin sıfırın altına inmeden bir önceki zamanı ifade eden ????0(??) sınır fonksiyonelinin de beklenen değeri için hem kesin, hem de ??'in büyük değerleri için yaklaşık sonuçlar elde edilmiştir. Çalışmada elde edilen önemli sonuçlardan biri de yukarıda belittiğimiz şekilde davranan sistemlere, kaynaklarının sıfırın altına inmeden bir önceki çevrimde yapılacak bakım politikasının önerilmesidir. Elde edilmiş asimptotik sonuçlar uygulama açısından kolaylık sağlamaktadır.

In this study, a mechanical system with imperfect maintenance and gradual degradation is considered. It is assumed that at initial time the system has ?? > 0 available resource and when system is in operating time resource is decreasing consistently and gradually (?????? ). The resource of the system will reach ?? ? ????0 level in the end of the first period. Also, at the end of the first period a certain maintenance policy is applied and general resource of the system is increasing by a random amount (??1). The subsequent periods will proceed similarly and eventually when the total available resource reaches zero, the process will restart repeat in a similar manner. The total level of the mechanical system describe, is expressed by a stochastic process ??(??). The investigated ??(??) process is a stochastic process with dependent components. The main purpose of this study is to determine when the system expressed by ??(??) will replace a new and similar system for the first time by using method of stochastic processes. For this aim, the process ??(??) and certain boundary functional ??0(??), ??0(??), ??(??), ????0(??)+1, ????(??)+1, ????0(??)+1, ????(??)+1, ????0(??) of the process are defined mathematically. On the purpose of investigating the significant boundary functional ??0(??), the supplementary boundary functional ??0(??) has been constructed mathematically and obtained both exact and asimptotic results for the expected value and variance by using mthods of renewal theory. Next, asymptotic expressions for the expected value, variance of the boundary functionals ??0(??) and ??(??) have been obtained. Then boundary functionals ????0(??)+1 and ????(??)+1 which are neccessary for investigating ????0(??)+1 and ????(??)+1 have been analyzed. Thereafter ????0(??)+1 and ????(??)+1 which are important for determining maintenance policy to the system on the previous period in which the process reaches to level zero was studed. In addition to them both the exact and approximate formulas have been derived for the boundary functional ????0(??) which is the first time in which the process ??(??) reached to level zero. One of the important result obtained in this study is to suggest the maintenance policy for the previous period in which ??(??) process drops below zero. Obtained asymptotic results provide convenience in terms of implementation.