Maksimum-minimum operatörleriyle yaklaşımın genelleştirilmesi

Abstract

Bu tezde, Bede ve arkadaşları tarafından 2008 yılında tanımlanan maksimum-minimum operatörlerinin yaklaşım özellikleri sistematik olarak çalışılmıştır. Maksimum-minimum operatörleri lineerlikten daha zayıf bir kavram olan zayıf-lineerlik (pseudo-linearity) koşulunu sağladığından dolayı klasik Korovkin yaklaşım teoremi bu operatörler için gerçeklenmemektedir. Bu nedenle öncelikle, maksimum-minimum operatörleri için genel bir yaklaşım teoremi elde edilmiş ve bu yaklaşım için yakınsaklık oranları hesaplamıştır. Özellikle de Hölder sürekli fonksiyonlar için hata tahmini verilmiştir. Yaklaşım teoreminin özel halleri göz önüne alınarak maksimum-minimum Shepard ve maksimum-minimum Bernstein operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu sayede hem tek değişkenli hem de iki değişkenli sürekli fonksiyonlara maksimum-minimum operatörleriyle klasik yaklaşımın varlığı ispatlanmış ve bu durum grafik gösterimleriyle desteklenmiştir. Ayrıca bu operatörlerle sözde-konkav (pseudo-concave) fonksiyonlara yaklaşılabileceği de gösterilmiş ve grafik gösterimleriyle doğrulanmıştır. Daha sonra bazı şekil koruma özellikleri de çalışılmıştır. Maksimum-minimum Bernstein operatörlerinin monotonluğu korumasına rağmen, maksimum-minimum Shepard operatörlerinin monotonluğu korumadığına dair örnekler verilmiştir. Uygulamalar için verilen örneklerde yaklaşımın sadece [0, 1] aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar için değil herhangi bir [a, b] kapalı ve sınırlı aralığında sürekli olan fonksiyonlar için de gerçeklendiği gösterilmiştir. Bell tarafından 1971 yılında tanımlanan regüler toplanabilme metotları yardımıyla elde edilen klasik yaklaşım teoremleri geliştirilmiştir. Böylelikle klasik yaklaşımın gerçeklenmediği durumlar için alternatif çözüm yolları sunulmuştur. Özel regüler toplanabilme metotları kullanılarak maksimum-minimum Shepard operatörleri ile hem tek değişkenli hem de iki değişkenli sürekli fonksiyonlara yaklaşım yapılmıştır. Artimetik ortalama yakınsaklık ve hemen hemen yakınsaklık gibi klasik anlamdaki yakınsaklıktan daha zayıf metotlar ile yaklaşımın varlığı ispatlanmıştır. Bu yaklaşımlar için de yakınsaklık oranları toplanabilme metotları yardımıyla hesaplanmıştır.

In this thesis, we systematically study the approximation properties of the maximum-minimum operators defined by Bede et.al. in 2008. Since the max-min operators satisfy the pseudo-linearity condition that is a weaker concept than the usual linearity, the classical Korovkin approximation theorem does not hold for these operators. Hence, we first obtain a general approximation theorem for max-min operators and compute the rates of convergence in this approximation. Especially we give an error estimation for Hölder continuous functions. By considering some special cases of our approximation theorem, we investigate the approximation properties of max-min Shepard and max-min Bernstein operators. In this way, we get a classical approximation to univariate and bivariate continuous functions by means of max-min operators and confirm it by graphical illustrations. We also approximate to quasi-concave functions by these operators and verify it by graphs. Then, we also study some shape preserving properties. We show that the max-min Bernstein operators preserve the monotonicity while we give some examples indicating that the max-min Shepard operators do not preserve the monotonicity. With some applications, we also show that the approximation is valid for continuous functions not only on the unit interval [0, 1] but also on any closed and bounded interval [a,b]. With the help of regular summability methods, we improve the classical approximation results. Thus, we give some alternative ways where the classical approach fails. By using some special regular methods, we approximate to both univariate and bivariate continuous functions by max-min Shepard operators. We prove the existence of approximation for summability methods, such as the arithmetic mean convergence and the almost convergence, which are weaker than the convergence in the usual sense. We also compute the rates of convergence for this approximation by summability methods.