Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri

Abstract

Bu tez çalışmasının amacı, HIV, tümör ve bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki biyolojik dinamiği matematiksel model kullanarak araştırmaktır. Tez çalışması, bu biyolojik dinamiği tasvir eden iki farklı matematiksel modelden oluşmaktadır. Matematiksel modeller, dinamik sistemler yaklaşımıyla ifade edilmiştir. Modellerdeki popülasyonların zamana göre değişimleri adi diferensiyel denklemler kullanılarak tanımlanmıştır. Modellerin analizindeki ilk adım olarak, ifade edilen diferensiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin tekliği ve pozitifliği gösterilmiştir. Bu adım, modeller biyolojik bir dinamik tasvir ettiğinden gereklidir. Devamında, dinamik sistemlerin pozitif denge noktaları belirlenmiştir. Birinci sisteme ait denge noktalarının global asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Bu sistem için enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak belirlenmiştir. Bu sisteme gerekli noktalara iki farklı zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiş; böylece dinamik sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amaçlanmıştır. Elde edilen yeni gecikmeli sistemin davranışları analiz edilmiştir. Bu analizlerde, gecikme terimleri çatallanma parametresi olarak seçilerek; fold-Hopf çatallanmanın varlık analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar bulunmuştur. İkinci sistemde, denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Ek olarak, enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak ifade edilmiştir. Sistemdeki denge noktalarının kararlılık yapılarından yola çıkılarak, transkritik çatallanmanın varlığı araştırılmıştır. Normal form teorisi kullanılarak, sistemin transkritik çatallanmaya ait normal formu elde edilmiştir. İlk modeldeki bakış açısına benzer şekilde, sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amacıyla zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiştir. Elde edilen yeni sistemin davranışlarının analizi, çatallanma parametresi olarak gecikme terimi seçilerek tamamlanmıştır. Hopf çatallanmanın varlık ve yön analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar belirlenmiş; ayrıca bu periyodik çözümlerin özellikleri, sistemin merkez manifolduna indirgenmesiyle bulunmuştur. Son olarak, çalışılan tüm sistemler için elde edilen teorik ve analitik sonuçlar, nümerik olarak desteklenmiş ve genişletilmiştir. Bunun için MATLAB programı kullanılmıştır.

The aim of this thesis is to investigate the biological dynamics between HIV, tumor and immune system cells using mathematical modelling. For this purpose, the thesis consists of two different mathematical models that describe this biological dynamic. Mathematical models are obtained through a dynamical system approach. The change of the populations in the models is described using ordinary differential equations. As a first step, the positivity of the solutions of the differential equation systems is proved, as desired in any population dynamics. Then, positive equilibrium points of dynamical systems is determined. The global stability of equilibrium points of the first system are analyzed. The basic reproduction number is determined depending on the parameters. Then, the system has been improved by integrating two different time delays into the system. Here, the dynamical system is aimed to better describe the biological dynamics. In the analyses of the delayed system, the delay termis chosen as bifurcation parameter. Then, the conditions under which fold-Hopf bifurcation will occur in the system is determined. Thus, the conditions in which periodic solutions are observed in the system have been determined. For the second system, we analyse the local stability of equilibrium points of the model. In addition, the basic reproduction number is determined depending on the parameters in the system. the existence of transcriptional bifurcation is investigated. Using the normal form theory, the normal form for the transcriptional bifurcation of the system is obtained. Similar to the point of view in the first model, the system is improved by incorporating a discreate time delay into the system. Then, tby choosing the delay term as bifurcation parameter we determine the conditions under which Hopf bifurcation will occur in the system. Thus, the conditions in which periodic solutions are seen in the system are determined. In addition, in order to determine the properties of the periodic solutions whose existence guaranteed in this way the system is reduced to the center manifold. Finally, the theoretical and analytical results obtained for all the studied systems is numerically supported and expanded using the MATLAB program.